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Compuestas 2

1) \( y=\dfrac {1}{(x+1)^5} \)  2) \( y=9^ {\ln x} \)
3) \( y=\sqrt{8x} \) 4) \( y= x \cdot \ln x^2 \)
5) \( y=sin^2(x^3) \) 6) \( y= e^{\cos x} \)
7) \( y= \dfrac{7x+9}{4x^2+1}\) 8) \( y= (2x+1) \cdot (5x+2) \)
9) \( y=  \dfrac {(2x-5)^2}{x} \) 10) \( y= 2^{1-3x}\)

Soluciones

Pulsa sobre el número de la pestaña que quieras ver.

En las soluciones se ponen las fórmulas de funciones compuestas y algunas de las simples. La derivada que no se pone nunca, porque se da por sabida, es: \( D (x^n) = n x^{n-1} \)

1

\( y=\dfrac {1}{(x+1)^5} \)

\( y' = \dfrac {D(1) \cdot (x+1)^5 - D(x+1)^5 \cdot 1}{\left ( (x+1)^5 \right )^2} \)

  • \( D(x+1)^5 = D(x+1) \cdot 5 (x+1)^{5-1} =1 \cdot 5 (x+1)^4 =5 (x+1)^4 \)

\( y' = \dfrac {0 \cdot (x+1)^5 - 5 (x+1)^4 \cdot 1}{\ (x+1)^{10} } \)

\( y' = \dfrac {- 5 (x+1)^4 }{\ (x+1)^{10} } \)

Simplificamos numerador y denominador:

\( \boxed{y' = \dfrac {- 5 }{\ (x+1)^{6} }} \)

2

\( y=9^ {\ln x} \)

\(y'=D(\ln x)\cdot 9^ {\ln x} \cdot \ln 9 \)

\(y'= \dfrac 1 x \cdot 9^ {\ln x} \cdot ln 9 \)

\(y'= \dfrac { 9^ {\ln x} \cdot ln 9} x \)

3

\( y=\sqrt{8x} \)

\( y' = \dfrac {D(8x)}{2 \cdot \sqrt{8x}} \)

\( y' = \dfrac {8}{2 \cdot \sqrt{8x}} \)

Simplificando el 8 y el 2, queda:

\( y' = \boxed{ \dfrac {4}{ \sqrt{8x}}} \)

4

\( y= x \cdot \ln x^2 \)

\( y'= D(x) \cdot x^2 + D( \ln x^2) \cdot x \)

  • \( D(x)=1 \)
  • \( D( \ln x^2) = \dfrac {D(x^2)}{x^2} = \dfrac {2x}{x^2}  = \dfrac {2 \not x}{x^{\not 2}}  = \dfrac {2}{x} \)

 \( y'= 1 \cdot x^2 + \dfrac {2x}{x} \)

 \( y'=  x^2 + \dfrac {2 \not x}{\not x} \)

 \( \boxed{ y'=  x^2 + 2} \)

5

\( y=\sin^2(x^3) \)

Recordemos que esto es lo mismo que:

\( y=[ \sin(x^3)]^2 \)

\( y'=D( [\sin x^3]) \cdot 2 \cdot [\sin (x^3)]^{2-1} \)

  • \( D( \sin x^3) = D(x^3) \cdot ( \cos x^3)  = 3x^2 \cdot \cos x^3 \)

\( y'= 3x^2 \cdot \cos x^3 \cdot 2 \cdot [\sin (x^3)]^{1} \)

\( \boxed {y'= 6x^2 \cdot \cos x^3 \cdot \sin (x^3)} \)

6

\( y= e^{ \cos x} \)

\( y' = D( \cos x ) \cdot e^{ \cos x} \)

\( y' = - \sin x \cdot e^{ \cos x} \)

7

\( y= \dfrac{7x+9}{4x^2+1}\)

\( y' = \dfrac{D(7x+9)(4x^2+1)-D(4x^2+1)(7x+9)}{(4x^2+1)^2} \)

  • \( D(7x+9) = 7 \)
  • \( D(4x^2+1)=8x \)

\( y' = \dfrac{7(4x^2+1)-8x(7x+9)}{(4x^2+1)^2} \)

\( y' = \dfrac{28x^2+7-56x^2-72x)}{(4x^2+1)^2} \)

\( y' = \dfrac{-28x^2-72x+7}{(4x^2+1)^2} \)

8

\( y= (2x+1) \cdot (5x+2) \)

\( y'= D(2x+1)  (5x+2)+D(5x+2)(2x+1) \)

\( y'= 2  (5x+2)+5(2x+1) \)

\( y'= 10x+4+10x+5 \)

\( \boxed{y'= 20x+9} \)

9

\( y= \dfrac {(2x-5)^2}{x} \)

\( y=  \dfrac {D(2x-5)^2 \cdot x - D(x) \cdot (2x-5)^2 }{x^2} \)

  • \( D(2x-5)^2 = D(2x-5) \cdot 2 \cdot (2x-5)^{2-1} = 2 \cdot 2 \cdot (2x-5)^{1} = 4(2x-5)= 8x-20 \)
  • \(D(x)=1 \)

\( y=  \dfrac {(8x-20) \cdot x - 1 \cdot (2x-5)^2 }{x^2} \)

\( y=  \dfrac {8x^2-20x - (2x-5)^2 }{x^2} \)

\( y=  \dfrac {8x^2-20x - (4x^2-20x+25) }{x^2} \)

\( y=  \dfrac {8x^2-20x - 4x^2+20x-25 }{x^2} \)

\( y=  \dfrac {4x^2-25 }{x^2} \)

10

\( y= 2^{1-3x}\)

\( y'=D(1-3x) \cdot  2^{1-3x} \cdot \ln 2\)

\( \boxed {y'=-3 \cdot  2^{1-3x} \cdot \ln 2}\)