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Compuestas 2

1) \( y=\dfrac {1}{(x+1)^5} \)  2) \( y=9^ {\ln x} \)
3) \( y=\sqrt{8x} \) 4) \( y= x \cdot \ln x^2 \)
5) \( y=sin^2(x^3) \) 6) \( y= e^{\cos x} \)
7) \( y= \dfrac{7x+9}{4x^2+1}\) 8) \( y= (2x+1) \cdot (5x+2) \)
9) \( y=  \dfrac {(2x-5)^2}{x} \) 10) \( y= 2^{1-3x}\)

Soluciones

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En las soluciones se ponen las fórmulas de funciones compuestas y algunas de las simples. La derivada que no se pone nunca, porque se da por sabida, es: \( D (x^n) = n x^{n-1} \)

1

\( y=\dfrac {1}{(x+1)^5} \)

\( y' = \dfrac {D(1) \cdot (x+1)^5 - D(x+1)^5 \cdot 1}{\left ( (x+1)^5 \right )^2} \)

  • \( D(x+1)^5 = D(x+1) \cdot 5 (x+1)^{5-1} =1 \cdot 5 (x+1)^4 =5 (x+1)^4 \)

\( y' = \dfrac {0 \cdot (x+1)^5 - 5 (x+1)^4 \cdot 1}{\ (x+1)^{10} } \)

\( y' = \dfrac {- 5 (x+1)^4 }{\ (x+1)^{10} } \)

Simplificamos numerador y denominador:

\( \boxed{y' = \dfrac {- 5 }{\ (x+1)^{6} }} \)

2

\( y=9^ {\ln x} \)

\(y'=D(\ln x)\cdot 9^ {\ln x} \cdot \ln 9 \)

\(y'= \dfrac 1 x \cdot 9^ {\ln x} \cdot ln 9 \)

\(y'= \dfrac { 9^ {\ln x} \cdot ln 9} x \)

3

\( y=\sqrt{8x} \)

\( y' = \dfrac {D(8x)}{2 \cdot \sqrt{8x}} \)

\( y' = \dfrac {8}{2 \cdot \sqrt{8x}} \)

Simplificando el 8 y el 2, queda:

\( y' = \boxed{ \dfrac {4}{ \sqrt{8x}}} \)

4

\( y= x \cdot \ln x^2 \)

\( y'= D(x) \cdot x^2 + D( \ln x^2) \cdot x \)

  • \( D(x)=1 \)
  • \( D( \ln x^2) = \dfrac {D(x^2)}{x^2} = \dfrac {2x}{x^2}  = \dfrac {2 \not x}{x^{\not 2}}  = \dfrac {2}{x} \)

 \( y'= 1 \cdot x^2 + \dfrac {2x}{x} \)

 \( y'=  x^2 + \dfrac {2 \not x}{\not x} \)

 \( \boxed{ y'=  x^2 + 2} \)

5

\( y=\sin^2(x^3) \)

Recordemos que esto es lo mismo que:

\( y=[ \sin(x^3)]^2 \)

\( y'=D( [\sinx^3]) \cdot 2 \cdot [\sin (x^3)]^{2-1} \)

  • D( \sinx^3) D(x^3) \cdot (cos x^3) = 3x^2 \cos x^3 \)

6

7

8

9

10

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