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EER01

  1. \( 5^{x+2} = 25^x \)

  2. \( 4^{2x} \cdot 2^x=2^{3x} \)

  3. \( 49 \cdot 7^{1-x} = 1 \)

  4. \( \dfrac 1 {27^x} = 9 \cdot 81^{x+2} \) 

  5. \( 16^x \cdot 4^x = \dfrac {4^x}{16^{3x-2}} \)

Soluciones

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1

\[ 5^{x+2} = 25^x \]

Dado que tenemos potencias de 5, usaremos logaritmos con esta base:

\[ \log_5 5^{x+2} = \log_5 25^x \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ (x+2) \log_5 5 = x \log_5 25 \]

Resolvemos los logaritmos:

\[ (x+2) \cdot 1 = x \cdot 2 \]

Quitamos el paréntesis y reordenamos los términos:

\[ x+2 = 2x \]

Despejamos \(x\):

\[ -x = -2 \]

\[ \boxed{x = 2} \]

2

\[ 4^{2x} \cdot 2^x=2^{3x} \]

Las bases son potencias de 2, por lo tanto haremos el logaritmo base 2 en ambos lados de la igualdad:

\[ \log_2 \left ( 4^{2x} \cdot 2^x \right )= \log_2 2^{3x} \]

Transformamos el producto en una suma de logaritmos:

\[ \log_2 4^{2x} + \log_2 2^x = \log_2 2^{3x} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ 2x \log_2 4 +x \log_2 2 = 3x \log_2 2 \]

Resolvemos los logaritmos:

\[ 2x \cdot 2 +x \cdot 1 = 3x \cdot 1 \]

Arreglamos la expresión que ha quedado:

\[ 4x +x = 3x  \]

Despejamos \(x\):

\[ 4x +x -3x= 0  \]

\[ 2x= 0  \]

\[ x= \frac 0 2  \]

\[ \boxed{x= 0}  \]

3

\[ 49 \cdot 7^{1-x} = 1 \]

Tenemos potencias de 7, hacemos el logaritmo base 7 en ambos lados de la igualdad:

\[ \log_7 \left ( 49 \cdot 7^{1-x} \right ) = \log_7 1 \]

Transformamos el producto en suma:

\[ \log_7 49 + \log_7 7^{1-x}  = \log_7 1 \]

Bajamos el exponente:

\[ \log_7 49 + (1-x) \log_7 7  = \log_7 1 \]

Resolvemos los logaritmos:

\[ 2 + (1-x) \cdot 1  = 0 \]

\[ 2 + 1-x  = 0 \]

Despejamos \(x\):

\[ 2 + 1  = x \]

\[ 3  = x \]

\[\boxed{x=3}\]

4

\[ \frac 1 {27^x} = 9 \cdot 81^{x+2} \]

La ecuación está formada por potencias de 3 así que utilizaremos esta base para los logaritmos:

\[ \log_3 \frac 1 {27^x} = \log_3 \left ( 9 \cdot 81^{x+2} \right )\]

Convertimos la división en una resta y el producto en una suma:

\[ \log_3 1 - \log_3 {27^x} = \log_3  9 + \log_3 81^{x+2} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ \log_3 1 - x \log_3 {27} = \log_3  9 + (x+2) \log_3 81 \]

Resolvemos los logaritmos:

\[ 0- x \cdot 3 = 2 + (x+2) \cdot 4 \]

Quitamos paréntesis y arreglamos:

\[ - 3x = 2 + 4x+8 \]

Despejamos \(x\):

\[ - 3x-4x = 2 +8 \]

\[ - 7x = 10 \]

\[ x = \frac {10}{-7} \]

\[ \boxed{x = -\frac {10}{7}} \]

5

\[ 16^x \cdot 4^x = \dfrac {4^x}{16^{3x-2}} \]

La ecuación está formada por potencias de 4 (también podríamos usar las de 2) así que utilizaremos logaritmos base 4:

\[ \log_4 \left ( 16^x \cdot 4^x \right ) =  \log_4 \dfrac {4^x}{16^{3x-2}} \]

Expresamos los productos como sumas y las divisiones como resta:

\[ \log_4 16^x + \log_4 4^x  =  \log_4  {4^x} - \log_4 16^{3x-2} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[x  \log_4 16 + x \log_4 4  = x  \log_4  {4} -(3x-2) \log_4 {16} \]

Resolvemos los logaritmos:

\[x  \cdot 2 + x \cdot 1  = x  \cdot 1-(3x-2) \cdot 2 \]

Arreglamos la ecuación:

\[2x + x   = x  - 6x+4 \]

Despejamos:

\[2x + x -x+6x  = 4 \]

\[8x  = 4 \]

\[x  = \frac {4} 8 \]

\[ \boxed{x  = \frac {1} 2} \]

También hay un 1 que no es potencia de 7, pero el logaritmo de 1, en cualquier base, siempre es 0.