- \( 5^{x+2} = 25^x \)
- \( 4^{2x} \cdot 2^x=2^{3x} \)
- \( 49 \cdot 7^{1-x} = 1 \)
- \( \dfrac 1 {27^x} = 9 \cdot 81^{x+2} \)
- \( 16^x \cdot 4^x = \dfrac {4^x}{16^{3x-2}} \)
Solucions
Clica sobre una pestanya per veure com es resol
1
\[ 5^{x+2} = 25^x \]
Atès que tenim potències de 5, farem servir logaritmes amb aquesta base:
\[ \log_5 5^{x+2} = \log_5 25^x \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ (x+2) \log_5 5 = x \log_5 25 \]
Resolem els logaritmes:
\[ (x+2) \cdot 1 = x \cdot 2 \]
Traiem el parèntesi i reordenem els termes:
\[ x+2 = 2x \]
Aíllem \(x\):
\[ -x = -2 \]
\[ \boxed{x = 2} \]
2
\[ 4^{2x} \cdot 2^x=2^{3x} \]
Les bases són potències de 2, per tant farem el logaritme base 2 a banda i banda de la igualtat:
\[ \log_2 \left ( 4^{2x} \cdot 2^x \right )= \log_2 2^{3x} \]
Transformem el producte en una suma de logaritmes:
\[ \log_2 4^{2x} + \log_2 2^x = \log_2 2^{3x} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ 2x \log_2 4 +x \log_2 2 = 3x \log_2 2 \]
Resolem els logaritmes:
\[ 2x \cdot 2 +x \cdot 1 = 3x \cdot 1 \]
Arreglem l'expressió que ha quedat:
\[ 4x +x = 3x \]
Aïllem \(x\):
\[ 4x +x -3x= 0 \]
\[ 2x= 0 \]
\[ x= \frac 0 2 \]
\[ \boxed{x= 0} \]
3
\[ 49 \cdot 7^{1-x} = 1 \]
Tenim potències de 7, fem el logaritme base 7 a banda i banda de la igualtat:
\[ \log_7 \left ( 49 \cdot 7^{1-x} \right ) = \log_7 1 \]
Transformem el producte en suma:
\[ \log_7 49 + \log_7 7^{1-x} = \log_7 1 \]
Baixem l'exponent:
\[ \log_7 49 + (1-x) \log_7 7 = \log_7 1 \]
Resolem els logaritmes:
\[ 2 + (1-x) \cdot 1 = 0 \]
\[ 2 + 1-x = 0 \]
Aïllem \(x\):
\[ 2 + 1 = x \]
\[ 3 = x \]
\[\boxed{x=3}\]
4
\[ \frac 1 {27^x} = 9 \cdot 81^{x+2} \]
L'equació està formada per potències de 3 així que farem servir aquesta base per als logaritmes:
\[ \log_3 \frac 1 {27^x} = \log_3 \left ( 9 \cdot 81^{x+2} \right )\]
Convertim la divisió en una resta i el producte en una suma:
\[ \log_3 1 - \log_3 {27^x} = \log_3 9 + \log_3 81^{x+2} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ \log_3 1 - x \log_3 {27} = \log_3 9 + (x+2) \log_3 81 \]
Resolem els logaritmes:
\[ 0- x \cdot 3 = 2 + (x+2) \cdot 4 \]
Traiem parèntesis i arreglem:
\[ - 3x = 2 + 4x+8 \]
Aïllem \(x\):
\[ - 3x-4x = 2 +8 \]
\[ - 7x = 10 \]
\[ x = \frac {10}{-7} \]
\[ \boxed{x = -\frac {10}{7}} \]
5
\[ 16^x \cdot 4^x = \dfrac {4^x}{16^{3x-2}} \]
L'equació està formada per potències de 4 (també podríem fer servir les de 2) així que utilitzarem logaritmes base 4:
\[ \log_4 \left ( 16^x \cdot 4^x \right ) = \log_4 \dfrac {4^x}{16^{3x-2}} \]
Expressem els productes com a sumes i les divisions com a resta:
\[ \log_4 16^x + \log_4 4^x = \log_4 {4^x} - \log_4 16^{3x-2} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[x \log_4 16 + x \log_4 4 = x \log_4 {4} -(3x-2) \log_4 {16} \]
Resolem els logaritmes:
\[x \cdot 2 + x \cdot 1 = x \cdot 1-(3x-2) \cdot 2 \]
Arreglem l'equació:
\[2x + x = x - 6x+4 \]
Aïllem:
\[2x + x -x+6x = 4 \]
\[8x = 4 \]
\[x = \frac {4} 8 \]
\[ \boxed{x = \frac {1} 2} \]
També hi ha un 1 que no és potència de 7, però el logaritme d'1, a qualsevol base, sempre és 0.