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EER03

Resolver las ecuaciones:

  1. \( e^{2x-2} = \dfrac 1 {e^{1-x}} \)

  2. \( 2^x \cdot 3^{x+1} = \dfrac 6 {5^x} \)

  3. \( \dfrac {2^x}{3^{2-x}}=2^x  \)

  4. \( \dfrac {2^x}{3^x} = \dfrac {4^x}{5^x} \)

  5. \( 6 \cdot e^{x+3} = \dfrac 1 {e^{x+1}} \)

  6. \( \dfrac {2^x}{3^x \cdot 5^{x+2}}=100^{2x} \)

Soluciones

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1

\[  e^{2x-2} = \dfrac 1 {e^{1-x}} \]

Como la base de los exponentes es e, haremos el logaritmo natural en ambos lados de la igualdad:

\[ \ln e^{2x-2} = \ln \dfrac 1 {e^{1-x}} \]

Expresamos el logaritmo de la división como una resta de logaritmos:

\[ \ln e^{2x-2} = \ln 1 - \ln {e^{1-x}} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ (2x-2) \ln e = \ln 1 - (1-x) \ln {e} \]

Resolvemos los logaritmos, quitamos los paréntesis y despejamos x:

\[ (2x-2) \cdot 1= 0 - (1-x) \cdot 1 \]

\[ 2x-2=  - (1-x)  \]

\[ 2x-2=  - 1+x  \]

\[ 2x-x=  - 1+2  \]

\[ \boxed{x=  -1}  \]

2

\[ 2^x \cdot 3^{x+1} = \dfrac 6 {5^x} \]

Hacemos el logaritmo decimal o natural a los dos lados del igual:

\[ \log \left ( 2^x \cdot 3^{x+1} \right ) = \log \dfrac 6 {5^x} \]

Transformamos el logaritmo de la multiplicación en suma de logaritmos y el logaritmo de la división en resta de logaritmos:

\[ \log 2^x + \log 3^{x+1}  = \log  6 - \log {5^x} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ x \log 2 +(x+1) \log 3 = \log  6 - x \log {5} \]

Quitamos los paréntesis:

\[ x \log 2 +x \log 3+1 \log 3 = \log  6 - x \log {5} \]

\[ x \log 2 +x \log 3+ \log 3 = \log  6 - x \log {5} \]

Pasamos los términos con \(x\) a la izquierda y el resto a la derecha:

\[ x \log 2 +x \log 3+x \log {5} = \log  6 -  \log 3 \]

Sacamos factor común de la \(x\):

\[ x ( \log 2 + \log 3+ \log {5}) = \log  6 -  \log 3 \]

Pasamos el paréntesis dividiendo:

\[ {x  = \frac { \log  6 -  \log 3 }{\log 2 + \log 3+ \log {5}}} \]

Operando con las propiedades de los logaritmos obtenemos la solución exacta:

\[ {x  = \frac { \log  \frac 6  3 }{\log (2 \cdot 3 \cdot 5)}} \]

\[ \boxed{x  = \frac { \log  2 }{\log 30}} \]

Operamos con la calculadora y obtenemos la solución aproximada:

\[\boxed{x \approx 0.204} \]

3

\[ \dfrac {2^x}{3^{2-x}}=2^x \]

Ponemos el logaritmo natural o decimal a los dos lados del igual:

\[ \ln \dfrac {2^x}{3^{2-x}}=\ln 2^x \]

Convertimos el logaritmo de la división en la resta de logaritmos:

\[ \ln  {2^x} - \ln {3^{2-x}}=\ln 2^x \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ x \ln  {2} - (2-x) \ln {3}= x \ln 2 \]

Quitamos el paréntesis:

\[ x \ln  {2} - 2 \ln 3+x \ln {3}= x \ln 2 \]

Pasamos los términos con \(x\) a la izquierda y el resto a la derecha:

\[ x \ln  {2}  +x \ln {3} - x \ln 2 = 2 \ln 3 \]

Como tenemos dos veces \( x \ln 2 \) uno positivo y otro negativo, se anulan y los podemos quitar:

\[  \not {x \ln  {2}}  +x \ln {3} - \not{x \ln 2} = 2 \ln 3 \]

\[ x \ln {3}  = 2 \ln 3 \]

Despejamos \(x\) y simplificamos:

\[ x = \frac {2 \ln {3}} { \ln 3} \]

\[ x = \frac {2 \not{\ln {3}}} { \not{ \ln 3}} \]

\[ \boxed{x =  2 }\]

4

\[ \dfrac {2^x}{3^x} = \dfrac {4^x}{5^x} \]

Hacemos el logaritmo a ambos lados de la igualdad:

\[ \log \dfrac {2^x}{3^x} = \log \dfrac {4^x}{5^x} \]

Transformamos los logaritmos de divisiones en restas:

\[ \log  {2^x} - \log {3^x} = \log  {4^x} - \log {5^x} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[x \log  {2} - x \log {3} = x \log  {4} - x \log {5} \]

Pasamos todos los términos con \(x\) a la izquierda:

\[x \log  {2} - x \log {3} - x \log  {4} + x \log {5} = 0 \]

Sacamos factor común de la \(x\):

\[x( \log  {2} - \log {3} - \log  {4} + \log {5}) = 0 \]

Pasamos dividiendo el paréntesis y resolvemos:

\[x=  \frac 0 { \log  {2} - \log {3} - \log  {4} + \log {5}}\]

\[ \boxed{x=0}\]

5

\[ 6 \cdot e^{x+3} = \dfrac 1 {e^{x+1}} \]

Como que el número e aparece en la ecuación utilizaremos el logaritmo natural:

\[ \ln \left ( 6 \cdot e^{x+3} \right ) = \ln \dfrac 1 {e^{x+1}} \]

Transformamos la multiplicación en una suma y la división en una resta:

\[ \ln  6 + \ln  e^{x+3}  = \ln 1 - \ln {e^{x+1}} \]

Bajamos los exponentes multiplicando:

\[ \ln  6 + (x+3) \ln  e  = \ln 1 - (x+1) \ln {e} \]

Resolvemos los logaritmos que dan exacto:

\[ \ln  6 + (x+3) \cdot 1  = 0 - (x+1) \cdot 1 \]

\[ \ln  6 + x+3  =  - (x+1)  \]

Quitamos el paréntesis que nos queda:

\[ \ln  6 + x+3  =  - x-1 \]

Despejamos \(x\):

\[x+x = -1 - \ln 6 -3 \]

\[ 2x = -4 - \ln 6 \]

Solución exacta:

\[ \boxed{x = \frac {-4 - \ln 6} 2} \]

Operamos con la calculadora y obtenemos la solución aproximada:

\[ \boxed{x \approx -2.896}\]

6

\[ \dfrac {2^x}{3^x \cdot 5^{x+2}}=100^{2x} \]

Dado que hay una potencia de 10 utilizaremos logaritmos decimales y hacemos el logaritmo decimal a cada lado de la igualdad:

\[ \log \dfrac {2^x}{3^x \cdot 5^{x+2}}= \log 100^{2x} \]

Convertimos la fracción en una resta:

\[ \log  {2^x} - \log \left ( {3^x \cdot 5^{x+2}} \right )= \log 100^{2x} \]

Convertimos la multiplicación en una suma:

\[ \log  {2^x} - ( \log  3^x + \log 5^{x+2}) = \log 100^{2x} \]

Quitamos el paréntesis:

\[ \log  {2^x} - \log  3^x - \log 5^{x+2} = \log 100^{2x} \]

Bajamos las potencias multiplicando:

\[ x \log  {2} - x \log  3 - (x+2) \log 5 = 2x \log 100 \]

Quitamos el paréntesis:

\[ x \log  {2} - x \log  3 - x \log 5 - 2 \log 5 = 2x \log 100 \]

Agrupamos a la izquierda todos los términos con \(x\) y el resto a la derecha:

\[ x \log  {2} - x \log  3 - x \log 5 - 2x \log 100 =  + 2 \log 5  \]

Sacamos factor común de la \(x\):

\[ x( \log  {2} -  \log  3 -  \log 5 - 2 \log 100 ) =   \log 5  \]

Pasamos el paréntesis dividiendo:

\[ x = \frac { 2 \log 5}{\log  {2} -\log  3 -  \log 5 - 2 \log 100}  \]

Utilizamos las propiedades de los logaritmos y resolvemos el que es potencia de 10:

\[ x = \frac { \log 5^2}{\log  \frac 2 3 - \log 5 -  2 \cdot 2}  \]

\[ x = \frac {  \log 25}{\log  \frac {\frac 2 3}{5} - 4  }  \]

\[ x = \frac { \log   25 } {\log  { \frac 2 {3 \cdot 5} -  4 }}  \]

Resultado exacto:

\[ \boxed{x = \frac { \log  25 } {\log  { \frac 2 {15} -  4 }}}  \]

Operando con la calculadora tenemos el resultado aproximado:

\[ \boxed{x \approx -0.287}\]



Recordemos que \(\ln 1=0 \) y que \( \ln e = 1 \)