Resoldre les equacions:
- \( e^{2x-2} = \dfrac 1 {e^{1-x}} \)
- \( 2^x \cdot 3^{x+1} = \dfrac 6 {5^x} \)
- \( \dfrac {2^x}{3^{2-x}}=2^x \)
- \( \dfrac {2^x}{3^x} = \dfrac {4^x}{5^x} \)
- \( 6 \cdot e^{x+3} = \dfrac 1 {e^{x+1}} \)
- \( \dfrac {2^x}{3^x \cdot 5^{x+2}}=100^{2x} \)
Solucions
Clica sobre les pestanyes per veure les solucions
1
\[ e^{2x-2} = \dfrac 1 {e^{1-x}} \]
Com que la base dels exponents és e, farem el logaritme natural a banda i banda de la igualtat:
\[ \ln e^{2x-2} = \ln \dfrac 1 {e^{1-x}} \]
Expressem el logaritme de la divisió com una resta de logaritmes:
\[ \ln e^{2x-2} = \ln 1 - \ln {e^{1-x}} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ (2x-2) \ln e = \ln 1 - (1-x) \ln {e} \]
Resolem els logaritmes, traiem els parèntesis i aclarim x:
\[ (2x-2) \cdot 1= 0 - (1-x) \cdot 1 \]
\[ 2x-2= - (1-x) \]
\[ 2x-2= - 1+x \]
\[ 2x-x= - 1+2 \]
\[ \boxed{x= 1} \]
2
\[ 2^x \cdot 3^{x+1} = \dfrac 6 {5^x} \]
Fem el logaritme decimal o natural als dos costats :
\[ \log \left ( 2^x \cdot 3^{x+1} \right ) = \log \dfrac 6 {5^x} \]
Transformem el logaritme de la multiplicació en suma de logaritmes i el logaritme de la divisió en resta de logaritmes:
\[ \log 2^x + \log 3^{x+1} = \log 6 - \log {5^x} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ x \log 2 +(x+1) \log 3 = \log 6 - x \log {5} \]
Traiem els parèntesis:
\[ x \log 2 +x \log 3+1 \log 3 = \log 6 - x \log {5} \]
\[ x \log 2 +x \log 3+ \log 3 = \log 6 - x \log {5} \]
Passem els termes amb \(x\) a l'esquerra i la resta a la dreta:
\[ x \log 2 +x \log 3+x \log {5} = \log 6 - \log 3 \]
Traiem factor comú de la \(x\):
\[ x ( \log 2 + \log 3+ \log {5}) = \log 6 - \log 3 \]
Passem el parèntesi dividint:
\[ {x = \frac { \log 6 - \log 3 }{\log 2 + \log 3+ \log {5}}} \]
Operant amb les propietats dels logaritmes obtenim la solució exacta:
\[ {x = \frac { \log \frac 6 3 }{\log (2 \cdot 3 \cdot 5)}} \]
\[ \boxed{x = \frac { \log 2 }{\log 30}} \]
Operem amb la calculadora i obtenim la solució aproximada:
\[\boxed{x \approx 0.204} \]
3
\[ \dfrac {2^x}{3^{2-x}}=2^x \]
Posem el logaritme natural o decimal als dos costats iguals:
\[ \ln \dfrac {2^x}{3^{2-x}}=\ln 2^x \]
Convertim el logaritme de la divisió a la resta de logaritmes:
\[ \ln {2^x} - \ln {3^{2-x}}=\ln 2^x \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ x \ln {2} - (2-x) \ln {3}= x \ln 2 \]
Traiem el parèntesi:
\[ x \ln {2} - 2 \ln 3+x \ln {3}= x \ln 2 \]
Passem els termes amb \(x\) a l'esquerra i la resta a la dreta:
\[ x \ln {2} +x \ln {3} - x \ln 2 = 2 \ln 3 \]
Com que tenim dues vegades \( x \ln 2 \) un de positiu i un altre de negatiu, s'anul·len i els podem treure:
\[ \not {x \ln {2}} +x \ln {3} - \not{x \ln 2} = 2 \ln 3 \]
\[ x \ln {3} = 2 \ln 3 \]
Aïllem \(x\) i simplifiquem:
\[ x = \frac {2 \ln {3}} { \ln 3} \]
\[ x = \frac {2 \not{\ln {3}}} { \not{ \ln 3}} \]
\[ \boxed{x = 2 }\]
4
\[ \dfrac {2^x}{3^x} = \dfrac {4^x}{5^x} \]
Fem el logaritme a banda i banda de la igualtat:
\[ \log \dfrac {2^x}{3^x} = \log \dfrac {4^x}{5^x} \]
Transformem els logaritmes de divisions en restes:
\[ \log {2^x} - \log {3^x} = \log {4^x} - \log {5^x} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[x \log {2} - x \log {3} = x \log {4} - x \log {5} \]
Passem tots els termes amb \(x\) a l'esquerra:
\[x \log {2} - x \log {3} - x \log {4} + x \log {5} = 0 \]
Traiem factor comú de la \(x\):
\[x( \log {2} - \log {3} - \log {4} + \log {5}) = 0 \]
Passem dividint el parèntesi i resolem:
\[x= \frac 0 { \log {2} - \log {3} - \log {4} + \log {5}}\]
\[ \boxed{x=0}\]
5
\[ 6 \cdot e^{x+3} = \dfrac 1 {e^{x+1}} \]
Com que el número e apareix a l'equació utilitzarem el logaritme natural:
\[ \ln \left ( 6 \cdot e^{x+3} \right ) = \ln \dfrac 1 {e^{x+1}} \]
Transformem la multiplicació en una suma i la divisió en una resta:
\[ \ln 6 + \ln e^{x+3} = \ln 1 - \ln {e^{x+1}} \]
Baixem els exponents multiplicant:
\[ \ln 6 + (x+3) \ln e = \ln 1 - (x+1) \ln {e} \]
Resolem els logaritmes que donen exacte:
\[ \ln 6 + (x+3) \cdot 1 = 0 - (x+1) \cdot 1 \]
\[ \ln 6 + x+3 = - (x+1) \]
Traiem el parèntesi que ens queda:
\[ \ln 6 + x+3 = - x-1 \]
Aïllem \(x\):
\[x+x = -1 - \ln 6 -3 \]
\[ 2x = -4 - \ln 6 \]
Solució exacta:
\[ \boxed{x = \frac {-4 - \ln 6} 2} \]
Operem amb la calculadora i obtenim la solució aproximada:
\[ \boxed{x \approx -2.896}\]
6
\[ \dfrac {2^x}{3^x \cdot 5^{x+2}}=100^{2x} \]
Donat que hi ha una potència de 10 utilitzarem logaritmes decimals i fem el logaritme decimal a cada costat de la igualtat:
\[ \log \dfrac {2^x}{3^x \cdot 5^{x+2}}= \log 100^{2x} \]
Convertim la fracció en una resta:
\[ \log {2^x} - \log \left ( {3^x \cdot 5^{x+2}} \right )= \log 100^{2x} \]
Convertim la multiplicació en una suma:
\[ \log {2^x} - ( \log 3^x + \log 5^{x+2}) = \log 100^{2x} \]
Traiem el parèntesi:
\[ \log {2^x} - \log 3^x - \log 5^{x+2} = \log 100^{2x} \]
Baixem les potències multiplicant:
\[ x \log {2} - x \log 3 - (x+2) \log 5 = 2x \log 100 \]
Traiem el parèntesi:
\[ x \log {2} - x \log 3 - x \log 5 - 2 \log 5 = 2x \log 100 \]
Agrupem a l'esquerra tots els termes amb \(x\) i la resta a la dreta:
\[ x \log {2} - x \log 3 - x \log 5 - 2x \log 100 = + 2 \log 5 \]
Traiem factor comú de la \(x\):
\[ x( \log {2} - \log 3 - \log 5 - 2 \log 100 ) = \log 5 \]
Passem el parèntesi dividint:
\[ x = \frac { 2 \log 5}{\log {2} -\log 3 - \log 5 - 2 \log 100} \]
Utilizamos las propiedades de los logaritmos y resolvemos el que es potencia de 10:
\[ x = \frac { \log 5^2}{\log \frac 2 3 - \log 5 - 2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac { \log 25}{\log \frac {\frac 2 3}{5} - 4 } \]
\[ x = \frac { \log 25 } {\log { \frac 2 {3 \cdot 5} - 4 }} \]
Resultat exacte:
\[ \boxed{x = \frac { \log 25 } {\log { \frac 2 {15} - 4 }}} \]
Operant amb la calculadora tenim el resultat aproximat:
\[ \boxed{x \approx -0.287}\]
Recordem que \(\ln 1=0 \) y que \( \ln e = 1 \)