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EER02

Resuelve las ecuaciones.

  1. \( 5^x=1 \)

  2. \( e^{x+1}=e \)

  3. \( 10^{2x}=100 \)

  4. \( 8= 2 \cdot 7^x \)

  5. \( 2^x \cdot 6^{x-2} = 8 ^x \)

Soluciones

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1

\[5^x=1\]

Hacemos el logaritmo (base 10 o logaritmo natural, no importa cual) en ambos lados de la igualdad:

\[ \log 5^x = \log 1 \]

Recordemos que \( \log_a 1 = 0 \). Bajamos el exponente multiplicando.

\[ x \log 5 =0 \]

\[ x = \frac 0 {\log 5} \]

\[ \boxed{x=0} \]

2

\[ e^{x+1}=e \]

Como la base de todas las potencias es e, utilizaremos logaritmos naturales:

\[ \ln \left ( e^{x+1} \right )=\ln e \]

Recordemos que \( \log_a a = 1 \), por lo tanto \( \ln e = 1 \) ya que \( \ln e = \log_e e \). Bajamos el exponente multiplicando.

\[ (x+1) \ln e = 1 \]

\[ (x+1) \cdot 1 = 1 \]

\[ x+1 = 1 \]

\[ x = 1-1 \]

\[ \boxed{x=0} \]

3

\[  10^{2x}=100 \]

Hacemos a ambos lados de la igualdad el logaritmo decimal ya que la base de las potencias es 10. 

\[ \log 10^{2x}=\log 100 \]

Recordemos que \( \log 100 = \log_{10} 100 = 2 \) ya que \(10^2=100 \). Bajamos el exponente multiplicando.

\[ 2x \log 10= 2 \]

Recordemos que \( \log 10 =1 \) ya que \( log_a a = 1 \) ya que \( a^1=a \).

\[ 2x=2\]

\[ x = \frac 2 2 \]

\[ \boxed{x=1} \]

4

\[ 8= 2 \cdot 7^x \]

Como ni el 8 ni el 2 están elevados, podemos pasar el 2 dividiendo a la izquierda para simplificar la ecuación.

\[ \frac 8 2 = 7^x \]

\[4 = 7^x \]

Hacemos el logaritmo neperiano o decimal, da igual, en ambos lados de la igualdad.

\[ \log 4 = \log 7^x \]

Bajamos el exponente multiplicando.

\[ \log 4 =x  \log 7 \]

Despejando \(x\) tenemos la solución exacta:

\[  \frac {\log 4} {\log 7} =x  \]

\[\boxed{ x= \frac {\log 4} {\log 7} }  \]

Resolvemos con la calculadora los logaritmos decimales que nos quedan y obtenemos la solución aproximada:

\[\boxed{x \approx 0.712} \]

5

\[  2^x \cdot 6^{x-2} = 8 ^x \]

Hacemos el logaritmo natural o decimal en ambos lados de la igualdad.

\[  \ln \left ( 2^x \cdot 6^{x-2} \right )= \ln 8 ^x  \]

Expresamos el logaritmo del producto como una suma de dos logaritmos.

\[  \ln  2^x + \ln 6^{x-2} = \ln 8 ^x  \]

Bajamos los exponentes multiplicando.

\[  x \ln  2 + (x-2) \ln 6 = x \ln 8   \]

Quitamos el paréntesis.

\[  x \ln  2 + x \ln 6-2 \ln 6 = x \ln 8   \]

Pasamos los términos con \(x\) a la izquierda y el resto a la derecha.

\[  x \ln  2 + x \ln 6- x \ln 8 = 2 \ln 6   \]

Sacamos factor común de las \(x\)

\[  x ( \ln  2 +  \ln 6-  \ln 8) = 2 \ln 6   \]

Pasamos el paréntesis dividiendo:

\[ { x = \frac {2 \ln 6}{\ln  2 +  \ln 6-  \ln 8} }  \]

Aplicamos las propiedades de los logaritmos y obtenemos la solución exacta:

\[  x = \frac { \ln 6^2}{\ln  \left ( \frac {2 \cdot  6}{ 8} \right ) }   \]

\[   {x = \frac { \ln 36}{\ln  \left ( \frac {12}{ 8} \right ) }}   \]

\[  \boxed {x = \frac { \ln 36}{\ln  \left ( \frac {3}{ 2} \right ) }}   \]

Operamos con la calculadora:

\[ \boxed{x \approx 8.838}\]