Omet navegació

EER02

Resol les equacions.

  1. \( 5^x=1 \)

  2. \( e^{x+1}=e \)

  3. \( 10^{2x}=100 \)

  4. \( 8= 2 \cdot 7^x \)

  5. \( 2^x \cdot 6^{x-2} = 8 ^x \)

Solucions

Clica sobre les pestanyes per veure la solució

1

\[5^x=1\]

Fem el logaritme (base 10 o logaritme natural, no importa quin) en ambdós costats de la igualtat:

\[ \log 5^x = \log 1 \]

Recordem que \( \log_a 1 = 0 \). Baixem l´exponent multiplicant.

\[ x \log 5 =0 \]

\[ x = \frac 0 {\log 5} \]

\[ \boxed{x=0} \]

2

\[ e^{x+1}=e \]

Com que la base de totes les potències és e, utilitzarem logaritmes naturals:

\[ \ln \left ( e^{x+1} \right )=\ln e \]

Recordem que \( \log_a a = 1 \), per tant \( \ln e = 1 \), ja que \( \ln e = \log_e e \). Baixem l'exponent multiplicant.

\[ (x+1) \ln e = 1 \]

\[ (x+1) \cdot 1 = 1 \]

\[ x+1 = 1 \]

\[ x = 1-1 \]

\[ \boxed{x=0} \]

3

\[  10^{2x}=100 \]

Fem a banda i banda de la igualtat el logaritme decimal, ja que la base de les potències és 10.

\[ \log 10^{2x}=\log 100 \]

Recordem que \( \log 100 = \log_{10} 100 = 2 \) perquè \(10^2=100 \). Baixem l'exponent multiplicant.

\[ 2x \log 10= 2 \]

Recordem que \( \log 10 =1 \) ya que \( log_a a = 1 \) ya que \( a^1=a \).

\[ 2x=2\]

\[ x = \frac 2 2 \]

\[ \boxed{x=1} \]

4

\[ 8= 2 \cdot 7^x \]

Com que ni el 8 ni el 2 no estan elevats, podem passar el 2 dividint a l'esquerra per simplificar l'equació.

\[ \frac 8 2 = 7^x \]

\[4 = 7^x \]

Fem el logaritme neperià o decimal, tant se val, a banda i banda de la igualtat.

\[ \log 4 = \log 7^x \]

Baixem l´exponent multiplicant.

\[ \log 4 =x  \log 7 \]

Aclarint \(x\) tenim la solució exacta:

\[  \frac {\log 4} {\log 7} =x  \]

\[\boxed{ x= \frac {\log 4} {\log 7} }  \]

Resolem amb la calculadora els logaritmes decimals que ens queden i obtenim la solució aproximada:

\[\boxed{x \approx 0.712} \]

5

\[  2^x \cdot 6^{x-2} = 8 ^x \]

Fem el logaritme natural o decimal a banda i banda de la igualtat.

\[  \ln \left ( 2^x \cdot 6^{x-2} \right )= \ln 8 ^x  \]

Expressem el logaritme del producte com una suma de dos logaritmes.

\[  \ln  2^x + \ln 6^{x-2} = \ln 8 ^x  \]

Baixem els exponents multiplicant.

\[  x \ln  2 + (x-2) \ln 6 = x \ln 8   \]

Traiem el parèntesi.

\[  x \ln  2 + x \ln 6-2 \ln 6 = x \ln 8   \]

Passem els termes amb \(x\) a l'esquerra i la resta a la dreta.

\[  x \ln  2 + x \ln 6- x \ln 8 = 2 \ln 6   \]

Traiem factor comú de les \(x\)

\[  x ( \ln  2 +  \ln 6-  \ln 8) = 2 \ln 6   \]

Passem el parèntesi dividint:

\[ { x = \frac {2 \ln 6}{\ln  2 +  \ln 6-  \ln 8} }  \]

Apliquem les propietats dels logaritmes i obtenim la solució exacta:

\[  x = \frac { \ln 6^2}{\ln  \left ( \frac {2 \cdot  6}{ 8} \right ) }   \]

\[   {x = \frac { \ln 36}{\ln  \left ( \frac {12}{ 8} \right ) }}   \]

\[  \boxed {x = \frac { \ln 36}{\ln  \left ( \frac {3}{ 2} \right ) }}   \]

Operem amb la calculadora:

\[ \boxed{x \approx 8.838}\]