Resol les equacions.
- \( 5^x=1 \)
- \( e^{x+1}=e \)
- \( 10^{2x}=100 \)
- \( 8= 2 \cdot 7^x \)
- \( 2^x \cdot 6^{x-2} = 8 ^x \)
Solucions
Clica sobre les pestanyes per veure la solució
1
\[5^x=1\]
Fem el logaritme (base 10 o logaritme natural, no importa quin) en ambdós costats de la igualtat:
\[ \log 5^x = \log 1 \]
Recordem que \( \log_a 1 = 0 \). Baixem l´exponent multiplicant.
\[ x \log 5 =0 \]
\[ x = \frac 0 {\log 5} \]
\[ \boxed{x=0} \]
2
\[ e^{x+1}=e \]
Com que la base de totes les potències és e, utilitzarem logaritmes naturals:
\[ \ln \left ( e^{x+1} \right )=\ln e \]
Recordem que \( \log_a a = 1 \), per tant \( \ln e = 1 \), ja que \( \ln e = \log_e e \). Baixem l'exponent multiplicant.
\[ (x+1) \ln e = 1 \]
\[ (x+1) \cdot 1 = 1 \]
\[ x+1 = 1 \]
\[ x = 1-1 \]
\[ \boxed{x=0} \]
3
\[ 10^{2x}=100 \]
Fem a banda i banda de la igualtat el logaritme decimal, ja que la base de les potències és 10.
\[ \log 10^{2x}=\log 100 \]
Recordem que \( \log 100 = \log_{10} 100 = 2 \) perquè \(10^2=100 \). Baixem l'exponent multiplicant.
\[ 2x \log 10= 2 \]
Recordem que \( \log 10 =1 \) ya que \( log_a a = 1 \) ya que \( a^1=a \).
\[ 2x=2\]
\[ x = \frac 2 2 \]
\[ \boxed{x=1} \]
4
\[ 8= 2 \cdot 7^x \]
Com que ni el 8 ni el 2 no estan elevats, podem passar el 2 dividint a l'esquerra per simplificar l'equació.
\[ \frac 8 2 = 7^x \]
\[4 = 7^x \]
Fem el logaritme neperià o decimal, tant se val, a banda i banda de la igualtat.
\[ \log 4 = \log 7^x \]
Baixem l´exponent multiplicant.
\[ \log 4 =x \log 7 \]
Aclarint \(x\) tenim la solució exacta:
\[ \frac {\log 4} {\log 7} =x \]
\[\boxed{ x= \frac {\log 4} {\log 7} } \]
Resolem amb la calculadora els logaritmes decimals que ens queden i obtenim la solució aproximada:
\[\boxed{x \approx 0.712} \]
5
\[ 2^x \cdot 6^{x-2} = 8 ^x \]
Fem el logaritme natural o decimal a banda i banda de la igualtat.
\[ \ln \left ( 2^x \cdot 6^{x-2} \right )= \ln 8 ^x \]
Expressem el logaritme del producte com una suma de dos logaritmes.
\[ \ln 2^x + \ln 6^{x-2} = \ln 8 ^x \]
Baixem els exponents multiplicant.
\[ x \ln 2 + (x-2) \ln 6 = x \ln 8 \]
Traiem el parèntesi.
\[ x \ln 2 + x \ln 6-2 \ln 6 = x \ln 8 \]
Passem els termes amb \(x\) a l'esquerra i la resta a la dreta.
\[ x \ln 2 + x \ln 6- x \ln 8 = 2 \ln 6 \]
Traiem factor comú de les \(x\)
\[ x ( \ln 2 + \ln 6- \ln 8) = 2 \ln 6 \]
Passem el parèntesi dividint:
\[ { x = \frac {2 \ln 6}{\ln 2 + \ln 6- \ln 8} } \]
Apliquem les propietats dels logaritmes i obtenim la solució exacta:
\[ x = \frac { \ln 6^2}{\ln \left ( \frac {2 \cdot 6}{ 8} \right ) } \]
\[ {x = \frac { \ln 36}{\ln \left ( \frac {12}{ 8} \right ) }} \]
\[ \boxed {x = \frac { \ln 36}{\ln \left ( \frac {3}{ 2} \right ) }} \]
Operem amb la calculadora:
\[ \boxed{x \approx 8.838}\]