Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales

1. \(2^x=4^{x+1} \)
   
   
2. \(3^x \cdot 8^x=7\)
   
   
3. \( e^{x+1}=1 \)
   
   
4. \( \dfrac {9^{2x} }{2^x}=5^{x+2}\)
   
   
5. \( \dfrac {1}{e^x}=e^{3x+2} \)
   
   
6. \( 2 \cdot 3^x = \dfrac {7}{5^x} \)

Discute y resuelve los sistemas que hay a continuación

1. \( \left \{ \begin{array}{r} -x+y-z=1 \\ x+y+z=2 \\ -x-y-z=-1 \end{array} \right .\)
   
   
2. \( \left \{ \begin{array}{r} 2x+2y-z=3 \\ 2x-y+z=2 \\ -x-y-z=-3 \end{array} \right .\)
   
   
3. \( \left \{ \begin{array}{r} x+2y+z=0 \\ 3x+2y+z=2 \\ 4x+4y+2z=2 \end{array} \right .\)
   
   
4. \( \left \{ \begin{array}{r} x+y+z=1 \\ 2x+2y+2z=2 \\ 3x+3y+3z=3 \end{array} \right .\)
   
   
5. \( \left \{ \begin{array}{r} x+y+z=1 \\ -x+y-z=1 \\ x+2y-z=2 \end{array} \right .\)

Resuelve los siguientes problemas:

1. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible. (Selectividad, Madrid 1999)
   
   
2. Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno de barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho? (Selectividad, Madrid, junio 2007)
   
   
3. Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo, al mes, de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes? (Selectividad, Madrid, septiembre 2007)
   
   
4. Halla tres números que suman 60, el de valor mediano es la media aritmética de los otros dos y el menor es la diferencia entre el mayor y el mediano.

Resuelve los límites

1. \( \displaystyle \lim_{x \to  \infty} \dfrac {x^2+x+4}{2-4x} \)
   
   
2. \(\displaystyle \lim_{x \to  -\infty} \dfrac {x^2+x+4}{2-4x} \)
   
   
3. \(\displaystyle \lim_{x \to  1} \dfrac {x^2-x}{2-2x} \)
   
   
4. \(\displaystyle \lim_{x \to  1} \dfrac {x^2+x}{x-1} \)
   
   
5. \(\displaystyle \lim_{x \to  1} \dfrac {-3}{x^2-2x+1} \)
   
   
6. \(\displaystyle \lim_{x \to  -\infty} \dfrac {-3}{x^2-2x+1} \)
   
   
7. \(\displaystyle \lim_{x \to  -1} \dfrac {x-1}{2x+2} \)
   
   
8. \(\displaystyle \lim_{x \to  \infty} \dfrac {x-1}{2x+2} \)
   
   
9. \(\displaystyle \lim_{x \to  \infty} \dfrac {x-1}{2x+2} \)
   
   
10. \(\displaystyle \lim_{x \to  \infty } 2^{x+3} \)
    
    
11. \(\displaystyle \lim_{x \to  \infty } \log_2 (1-x^2) \)
    
    
12. \(\displaystyle \lim_{x \to  -\infty } e^{\frac 1 x} \)

Deriva las siguientes funciones:

1. \( y = \dfrac {3x}{1-2x} \)
   
   
2. \( y= 4x \cdot \sqrt {2x}\)
   
   
3. \( y= \ln \left (x^2+x+1 \right ) \)
   
   
4. \( y= \dfrac {\ln x}{x} \)
   
   
5. \( y= x \cdot e^{x^2+1} \)
   
   
6. \( y= \sin (\sqrt [4] x) \)
   
   
7. \( y= \dfrac {2x^2-3x-6}{3x^2+x} \)
   
   
8. \( y= \dfrac {1}{ \cos x} \)
   
   
9. \( y= 9x+1 \)
   
   
10. \( y= 3x^2-2x+ \dfrac 1 x \)