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Compostes 1

1) \(y=  \tan^2 x\) 2) \(y=  (6x+8)^7\)
3) \(y= \sqrt {\ln x} \) 4) \(y=  e^{\tan x}\)
5) \(y= \log_2 {5x^2+x} \) 6) \(y= \tan {x^2} \)
7) \(y= \dfrac {-1}{(1-x)^2} \) 8) \(y= \sin {( \cos x)} \)
9) \(y= 8x^3+6(3x-2)^4 \) 10) \(y= e^x+\sqrt {4x} \)

Solucions

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A les solucions es posen les fórmules de funcions compostes i algunes de les simples. La derivada que no es posa mai, perquè es dóna per sabuda, és: \( D (x^n) = n x^{n-1} \)

1

\(y=  \tan^2 x\)

\(\tan^2 x = (\tan x)^2\) por tant:

  • Primer utilitzem la fórmula composta: \( D( f^n ) = f' \cdot n \cdot f^{n-1} \)
  • En segon lloc, la simple: \( D( \tan x ) = \dfrac {1}{\cos^2 x} \)

\( y'= D( \tan x)^2= D( \tan x) \cdot 2 \cdot ( \tan x) ^{2-1} \)

\( y'=\dfrac 1 {\cos^2 x} \cdot 2 \cdot (\tan x)^1 \)

\( \boxed{y'= \dfrac {2 \tan x}{\cos^2 x}} \)

2

\(y=  (6x+8)^7\)

  • Utilitzem la fórmula composta: \( D( f^n ) = f' \cdot n \cdot f^{n-1} \)

\( y'= D(6x+8) \cdot 7 \cdot (6x+8)^{7-1} \)

\( y'= 6 \cdot 7 \cdot (6x+8)^6 \)

\(\boxed{y'=42(6x+8)^6} \)

3

\(y= \sqrt {\ln x} \)

  • En primer lloc fem servir la fórmula composta: \( D( \sqrt f ) = \dfrac {f'}{\sqrt f} \)
  • En segon lloc, la simple: \( D( \ln x ) = \dfrac 1 x \)

\( y'=\dfrac {D( \ln x )}{2 \sqrt {\ln x}} \)

\( y'=\dfrac {\dfrac 1 x}{2 \sqrt {\ln x}} \)

\( \boxed { y'= \dfrac 1 {2x \sqrt {\ln x}}} \)

4

\(y=  e^{\tan x}\)

  • Primer s'utilitza: \( D(e^f) = f' \cdot e^f \)
  • Després: \( D( \tan x ) = \dfrac 1 {\cos^2 x} \)

\( y'= D( \tan x) \cdot e^{\tan x} \)

\( y'= \dfrac 1 {tan^2 x} \cdot e^{\tan x} \)

\( \boxed { y'=\dfrac {e^{\tan x}}{tan^2 x}} \)

5

\(y= \log_2 {5x^2+x} \)

  • Usem la fórmula: \( D( \log_a f) = \dfrac {f'}{f \cdot \ln a} \)

\( y' =  \dfrac {D( 5x^2)} {5x^2 \cdot \ln 2} +1 \)

\( y'=   \dfrac {10x} {5x^2 \cdot \ln 2} +1 \)

\( \boxed {y'=  \dfrac {2} {x  \ln 2}+1}  \)

6

\(y= \tan {x^2} \)

  • Utilitzem la fórmula: \( D ( \tan f ) = \dfrac {f'}{\cos^2 f} \)

\( y'= \dfrac {D(x^2)}{\cos^2 x} \)

\( \boxed {y'= \dfrac {2x}{\cos^2 x}} \)

7

\(y= \dfrac {-1}{(1-x)^2} \)

  • Primer utilitzem la fórmula de la divisió: \( D \dfrac f g = \dfrac {f'g-g'f}{g^2} \)
  • Quan calgui derivar el denominador es fa servir: \( D( f^n ) = f' \cdot n \cdot f^{n-1} \)

\( y' = \dfrac {D(-1) \cdot (1-x)^2 - D(1-x)^2 \cdot (-1)}{\left [ (1-x)^2 \right ]^2} \)

  • Derivem per separat:
    \( D(1-x)^2 = D(1-x) \cdot 2 \cdot (1-x)^{2-1} = \)
    \( = -1 \cdot 2 \cdot (1-x)^1  -2 \cdot (1-x) = \)
    \( = -2+2x = \)
    \( = \boxed {2x -2} \)

\( y' = \dfrac {0 \cdot (1-x)^2 - (2x-2) \cdot (-1)}{(1-x)^4 } \)

\( y' = \dfrac {0 + (2x-2) }{ (1-x)^4} \)

\( \boxed { y' = \dfrac { 2x-2}{ (1-x)^4}} \)

8

\(y= \sin {( \cos x)} \)

  • En primer lloc es fa servir: \( D( \sin f ) = f' \cdot \cos f \)
  • En segon lloc: \( D( \cos x ) = - \sin x \)

\( y' = D( \cos x) \cdot \cos ( \cos x) \)

\( \boxed { y'= -\sin x  \cdot \cos ( \cos x)} \)

9

\(y= 8x^3+6(3x-2)^4 \)

  • El primer terme de la suma és una funció simple.
  • El parèntesi del segon terme és compost i es fa servir la fórmula: \( D( f^n ) = f' \cdot n \cdot f^{n-1} \)

\( y' = 3 \cdot 8 x^{3-1} + 6 \cdot D(3x-2) \cdot 4 \cdot (3x-2)^{4-1} \)

\( y' = 24 x^{2} + 6 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (3x-2)^3 \) 

\( \boxed {y' = 24 x^{2} + 72 \cdot (3x-2)^3} \) 

10

\(y= e^x+\sqrt {4x} \)

  • El primer terme de la suma és una funció simple.
  • Per a l'arrel s'ha fet servir: \( D( \sqrt f ) = \dfrac {f'}{2 \sqrt f} \)

\( y'= e^x + \dfrac {D(4x)}{2 \sqrt{4x}} \)

\( y'= e^x + \dfrac {4}{2 \sqrt{4x}} \)

\( \boxed{ y'= e^x + \dfrac {2}{ \sqrt{4x}}} \)